Fourier Transformation

Fourier 変換について
※ Dropbox/lab/other/laplace.pdf も参照.

Fourier 変換の定義
$$ F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{- \mathrm{i} \omega t} \mathrm{d}t $$
 * Fourier 変換: $${t \rightarrow \omega}$$

$$ f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \mathrm{d} \omega $$
 * Fourier 逆変換: $$\omega \rightarrow t$$

Fourier 変換の公式

 * $$\mathcal{F}[f'(t)](\omega) = \mathrm{i} \omega F(\omega)$$ : 時間微分は $$\mathrm{i} \omega$$ をかける

Fourier 変換の意味，便利さ
時間関数を Fourier 変換するということは，その関数を「周波数」という視点から捉え直していることを意味する．では，なぜこんなことをするのだろうか？　そして，なぜこの変換をすると便利なのだろうか？

Fourier 変換とは，ある時間関数がさまざまな周波数をもつ正弦波のどういう重ね合わせになっているかを求める変換であり，変換後の関数は各周波数の正弦波の係数を表している．「連続的な周波数における三角関数成分の大きさを密度分布の形で表したもの」と言ってもよい．このことは Fourier 変換の定義式が，対象とする時間関数 $$f(t)$$ と正弦波 $$\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}$$ の内積の計算であることからもわかる．

Fourier 変換後の関数は周波数 $$\omega$$ にのみ依存し，時間には依存しない．これはある意味で，「元の時間関数の定常的な性質を表している関数である」と言ってよいだろう．すなわち，Fourier 変換によって求まる周波数関数は元の時間関数と本質的にまったく等価であり，特に時間に依らず変化しない性質に焦点を当てた表現形式なのである．このように時間領域の関数を周波数領域に移すことによって，時間での微分や積分が対象とする関数にはまったく影響しない世界で解析することができるようになる．

それでは時間微分はどこに影響するのかというと，正弦波 $$\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}$$ の部分である．しかしながら，  $$\displaystyle \frac{d}{dt} e^{i \omega t} = i \omega e^{i \omega t} $$ であることからもわかるように，$$\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}$$ は微分作用素の固有関数であるため（laplace.pdf 参照）微分によって形が変わることはなく，その固有値は $$\mathrm{i} \omega$$ である． すなわち，Fourier 変換は元の関数を微分作用素の固有ベクトル $$\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}$$ によって展開してやるときの各係数を求めていると捉えることもできる．かくして時間微分は周波数領域では $$\mathrm{i} \omega$$ をかけることに対応し，その逆変換である積分は $$\mathrm{i} \omega$$ で割ればよいということになる．

以上のように，Fourier 解析のキモは「時間関数のもつ定常的な性質に着目することによって，時間に関する複雑な操作（微積分など）の影響が最小限に抑えられた世界であれこれ考えることができる」ことにある．